第1章 上一章注释［001］(第3/5 页)

数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=pnf，g:Nn+1—N

对于h:

基准条件：hx1，...xn，0=fx1，...，xn

递归条件: hx1，...，xn，y+1=gx1，...，xn，y，hx1，...，xn，y

回到我们的加法器add：

add:N2→N

addx，y=x+y=p1f，g

基准条件：addx，0=fx=proj11

递归条件：addx，y+1=gx，y，addx，y=succaddx，y，g=succ·[proj33]

add=p1proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=p1zero，add·[proj13，proj33]

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N 这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了，具体的fa1，...an，x，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f5，4，3，2，1，0=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f5，4，3，2，1，1=1

假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj211，其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

proj211，0=1

proj211，1=1

我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言